賽局-24

作者：蔡東霖

再來想想其他的「委託人－代理人問題」。養魚轉業。

養殖業者 A 有一個魚池。 A 在魚池內養魚，也很努力工作，成本是 C_A。有 ¼ 的機率得到不好的漁獲量，只能賺到600元。當然，有 ¾ 的機率得到好的漁獲量，賺到 1600 元。
最近，A 計畫把這個魚池，改為養蝦。但是，A 對養蝦的工作不熟悉。所以，A 打算聘用養蝦專家 B。而 B 之前的薪水是810元。
假如 B 接受 A 的聘用，B 有可能努力工作或者偷懶。而 A 只知道最後賺多少的結果，不知道 B 是努力工作或是偷懶。
如果，B 努力工作，A 有 ¾ 的機率賺得到 2400 元，有 ¼ 的機率賺得到 800 元。
如果，B 偷懶，A 有 ⅛ 的機率賺得到 2400 元，有 ⅞ 的機率賺得到 800 元。
然而，B 努力工作，會花到 B 自己的成本 C_B。

先來畫樹狀圖，幫助思考：( A 的報酬，B 的報酬)，(有考慮到機率，所以老天爺 N 要參賽)

A	養魚			N	¼	(600 - CA, 810)
	專家來				¾	(1600 - CA, 810)
		B	偷懶	N	⅛	(2400 - W1 , W1)
					⅞	(800 - W2 , W2)
			努力	N	¾	(2400 - W1 , W1 - CB)
					¼	(800 - W2 , W2 - CB)

◎狀況一：
A 與 B 訂好一契約

• 賺到 2400 元，A 給 B 薪水 W1
• 賺得到 800 元，A 給 B 薪水 W2

首先， A 最大利益：

• 最大利益就是 B 「努力」的那個選項。
• i.e. π_A = [ ¾ ( 2400 - W1 ) + ¼ ( 800 - W2 ) ] = 2000 - ¼ (3W1 - W2)
• (3W1 - W2) 越小越好

再來想想「誘因相符性 (Incentive Compatibility) 」, IC
A 希望 B 能做到「努力」，因此對廠長 B 的誘因，要符合這個條件：

• B 的報酬(努力) ≥ B 的報酬(偷懶)
• i.e. [ ¾(W1 - C_B) + ¼( W2 - C_B ) ] ≥ [ ⅛W1 + ⅞W2 ]
  ⸫ W1 - W2 ≥ 8 C_B / 5

接著來想想「參與限制 (Participation Constraint)」, PC
A 希望 B 能做到「努力」，因此對 B 的誘因，也要符合這個條件：

• 廠長 B 的報酬(努力) ≥ 廠長 B 的報酬(之前的薪水)
• i.e. [ ¾(W1 - C_B) + ¼( W2 - C_B ) ]  ≥ 810
  ⸫ 3W1 + W2 ≥ 4 (810 + C_B ) 

所以，滿足上面三個條件，將會是最佳結果。

找個數字來代：假設 C_A = 350；C_B = 160
三個條件分別是：

1. min. (3W1 - W2)
2. W1 - W2 ≥ 256
3. 3W1 + W2 ≥ 3880

數學求解這三個不等式，得到：W1 = 1034； W2 = 778

這意味著，最適契約內容是：

1. 賺到 2400 元，A 給 B 薪水 1034 元
2. 賺到 800 元，A 給 B 薪水 778 元

那，要不要真的改養蝦呢？來看看期望值。

• 養蝦，執行上面的最適契約，B 會努力工作。
  π_A = [ ¾ ( 2400 - W1 ) + ¼ ( 800 - W2 ) ] = 1030
• 照舊養魚
  π_A = [ ¾ ( 1600 - C_A ) + ¼ ( 600 - C_B ) ] = 1000

養蝦的報酬期望值高於養魚的報酬期望值，所以，改吧！


<PS.>所有英翻中的詞：以「國家教育研究院」所屬「雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」的「經濟學領域」的翻譯為主，一般常用翻譯為輔。

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