賽局-23

作者：蔡東霖

前面想過「委託人－代理人問題（Principal-agent problem ）」的「道德風險（Moral hazard）」。這次再來想想其他的「委託人－代理人問題」

公司 A 即將生產一個新產品。目前業界，這類產品的生產方法有兩種，簡稱：F 法及C 法。公司 A 希望廠長 B 去研究一下 F 法及C 法哪一個的成本比較低。

• 兩種方法都具有：θ 的機率可以讓成本維持 10 元及有 (1-θ) 的機率可以讓成本維持 20 元。

機率表		C 法
		10	20
F 法	10	θ	θ(1-θ)
	20	θ(1-θ)	(1-θ)2

• 倘若廠長 B 真做研究，可以知道哪一個方法比較好。

機率表		廠長 B
		不研究	研究
公司 A	10	θ	1-(1-θ)2
	20	(1-θ)	(1-θ)2

• 倘若廠長 B 真做研究，會花自己的成本 α 。
• 公司 A 不會知道廠長 B 有沒有真做研究，只會知道最後開始投產時的成本。
• 所以公司提了個激勵手段：
  1.若投產時的成本為 10，廠長 B 的薪水是 x；
  2.若投產時的成本為 20，廠長 B 的薪水是 y 
• 廠長 B 的平常薪水是 W

在這裡，想要引入「效用函數(Utility Function)」的概念，所以廠長 B 的報酬 u 將是薪水的函數，u = ln (B的薪水)。
先來畫圖，幫助思考：( 公司付給 B 薪水，B 的報酬)(有考慮到機率，所以老天爺 N 要參賽)

A	不投資					(w, ln(w))
	投資	B	不研究	N	θ機率得10	(x, ln(x))
					(1-θ)機率得20	(y, ln(y))
			研究	N	1-(1-θ)2機率得10	(x, ln(x)-α)
					(1-θ)2 機率得20	(y, ln(y)-α)

首先，公司 A 最大利益：

• 最大利益就是 B 研究的那個選項，但希望付出的薪水最少。
• i.e. S = Min. [ (1-(1-θ)² ) x + (1-θ)² y ]
• S 越小越好

再來想想「誘因相符性 (Incentive Compatibility) 」, IC
公司 A 希望廠長 B 能做到「研究」，因此對廠長 B 的誘因，要符合這個條件：

• 廠長 B 的報酬(研究) ≥ 廠長 B 的報酬(不研究)
• i.e. . [ (1-(1-θ)² ) ( ln(x)-α) + (1-θ)² ( ln(x)-α) ] ≥ θ ln(x)+ (1-θ)ln(y)
  ⸫ θ (1-θ) ln(x) - θ (1-θ) ln(y) ≥ α

接著來想想「參與限制 (Participation Constraint)」, PC
公司 A 希望廠長 B 能做到「研究」，因此對廠長 B 的誘因，也要符合這個條件：

• 廠長 B 的報酬(研究) ≥ 廠長 B 的報酬(平常薪水)
• i.e. [ (1-(1-θ)² ) ( ln(x)-α) + ((1-θ)² ) ( ln(x) - α) ] ≥ ln(w)
  ⸫ θ (2-θ) ln(x) + ((1-θ)²) ln(y) ≥ ln(w) + α

所以，滿足上面三個條件，將會是最佳結果。

都是符號，不好思考。代數字好了。

假設：θ = 0.3，α=1，W=1
則:S = min ( 0.51 x + 0.49 y )
IC:( 0.21 ln(x) - 0.21 ln(y) ) ≥ 1
PC:( 0.51 ln(x) + 0.49 ln(y) ) ≥ 1
[省略數學運算]
解: x = 27.94, y = 0.24

透過上面的數字來思考

• 首先，發現 ｘ = 27.94
  這似乎意味著，公司原本打算避開「產線成本=20」的狀況，結果花在研究上的成本更大，達到 27.94。
• 再來比較總成本
  ◎若廠長不研究
  公司的產線成本期望值為 = 10 θ + 20 (1-θ) = 10 x 0.3 + 20 x 0.7 = 17
  公司的薪水成本為 = w = 1
  公司的總成本 = 17 + 1 = 18
  
  ◎若廠長做研究，
  公司的產線成本期望值為 = 10 (1-(1-θ)² + 20 (1-θ)² = 10 x 0.51 + 20 x 0.49 = 14.9
  公司的薪水成本期望值為 = x (1-(1-θ)² + y (1-θ)² = 27.94 x 0.51 + 0.24 x 0.49 = 14.367
  公司的總成本 = 14.9 + 14.367 = 29.267
  
  ◎做研究的總成本遠大於不做研究

◎難道，真的不做研究 ?

◎上面這個例子，是把廠長 B 的薪水，跟公司的期望連結、綁在一起。
若是，改成跟公司外面的事物綁在一起呢 ?

現在，把公司  D 的廠長 E 也抓進此賽局。公司 D 也跟 公司A 一樣，要做相同的產品，也在苦惱 C 法跟 F 法的成本 10、20 的選擇，公司 D 的廠長 E 也被要求進行研究。兩家公司的條件、環境完全一樣。

兩家公司也提出相同的激勵條件：

1. 投產後，若成本不比對手高，薪水給 ｘ
2. 投產後，若成本比對手高，薪水給 ｙ

延續上面公司 A 的假設、效用函數及計算
用表格來表示，幫助思考：(R、H、K 代表各種情況下，各廠長的報酬。)

		廠長 E
		研究	不研究
廠長 B	研究	(R , R)	(R , K)
	不研究	(K , R)	(H , H)

是的，共有三種情況：
◎◎兩人都進行研究，肯定都會選到成本為10，所以從上面公司 A 的計算，知道兩個人報酬都是 R = ( ln x ) - α

◎◎兩人都不進行研究
全靠機率。有三種組合：

• C 法為成本 10，F 法為成本 20
  ∵ 排列組合為：(C,C)、(F,F)、(F,C)、(C,F)
  ∴ 自家高於對手的機率為 ¼ ，會拿到 y
  再考慮C 法與 F 法自身的機率：θ(1-θ)
  期望值為 ¼ θ(1-θ) ln(y)
• C 法為成本 20，F 法為成本 10
  同上理，期望值為 ¼ θ(1-θ) ln(y)
• C 法的成本與 F 法一樣
  ∵ 非上面兩種狀況都屬本項，且會拿到  x
  ∴ 機率為 1- ¼ θ(1-θ)  - ¼ θ(1-θ) = (1- ½ θ(1-θ))
  期望值為 ( 1- ½ θ(1-θ)) ln(x)
• 兩人都不進行研究，報酬期望值 H =  ( ½ θ(1-θ)) ln(y) + ( 1- ½ θ(1-θ)) ln(x)

◎◎一人不進行研究
進行研究的人，報酬是 R = ( ln x ) - α
不進行研究的人靠機率。有三種組合：

• C 法為成本 10，F 法為成本 20
  對手有進行研究，肯定都選 C
  ∵ 排列組合為：(C,C)、(F,C)
  ∴ 自家高於對手的機率為 ½，會拿到 y
  期望值為 ½ θ(1-θ) ln(y)
• C 法為成本 20，F 法為成本 10
  同上理，期望值為 ½ θ(1-θ) ln(y)
• C 法的成本與 F 法一樣
  ∵ 非上面兩種狀況都屬本項，且會拿到  x
  ∴ 機率為 1- ½ θ(1-θ)  - ½ θ(1-θ) = (1- θ(1-θ))
  期望值為 ( 1- θ(1-θ)) ln(x)
• 不進行研究的人，報酬期望值 K =  (  θ(1-θ)) ln(y) + ( 1-  θ(1-θ)) ln(x)

首先，公司最大利益：

• 最大利益就是廠長研究的那個選項。

再來想想「誘因相符性 (Incentive Compatibility) 」, IC
自己跟自己比，因此對廠長的誘因，要符合這個條件：

• 廠長的報酬(研究) ≥ 廠長 的報酬(不研究)
• i.e. . R ≥ H

自己跟外面比，因此對廠長的誘因，也要符合這個條件：

• 本公司廠長的報酬(研究) ≥ 對手公司廠長的報酬(不研究)
• i.e. R ≥ K

接著來想想「參與限制 (Participation Constraint)」, PC
也要符合這個條件：

• 廠長 B 的報酬(研究) ≥ 廠長 B 的報酬(平常薪水)
• i.e.R ≥ ln(w)

所以，滿足上面條件，將會是最佳結果。

進入數學世界

令 Y=0 ，則 K = - ∞ ，H = - ∞
得 R ≥ H，R ≥ K
帶回表格，可知奈許均衡為 ( R , R )

◎意思就是，把績效跟公司外面的事物連結在一起，就會導致廠長進行研究的結果。

一樣代數字進去。

假設：θ = 0.3，α=1，W=1
[省略數學運算]
比較總成本將會發現
◎若廠長不研究
公司的產線成本期望值為 = 10 θ + 20 (1-θ) = 10 x 0.3 + 20 x 0.7 = 17
公司的薪水成本為 = w = 1
公司的總成本 = 17 + 1 = 18

◎若廠長做研究，一定取得 x
公司的產線成本期望值為 = 10 (1-(1-θ)2 + 20 (1-θ)2 = 10 x 0.51 + 20 x 0.49 = 14.9
公司的薪水成本為 = x = 2.72
公司的總成本 = 14.9 + 2.72 = 17.62

◎做研究的總成本與不做研究差異不大

<PS.>所有英翻中的詞：以「國家教育研究院」所屬「雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」的「經濟學領域」的翻譯為主，一般常用翻譯為輔。

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