賽局-19

作者：蔡東霖

前面是一家上游一家下游，再來想想上下游市場垂直整合（Vertical Market）的問題中，若是二家上游二家下游 ...

有A1、B1、A2、B2共四家公司，A1、A2公司是上游生產工廠，B1、B2公司是下游銷售公司。

1. A1、A2公司是上游市場的寡占。
2. B1、B2公司在下游市場的寡占，各自訂價，互相做價格競爭。
3. A1公司供貨給B1公司，A2公司供貨給B2公司。
4. 市場中，B1公司的單價是P1，市場需求數量Q1 = 1 - P1 + θ P2, 0 ≦ θ < 1
5. 市場中，B2公司的單價是P2，市場需求數量Q2 = 1 - P2 + θ P1, 0 ≦ θ < 1
6. 市場中，A1 公司的批發價為 W1，A2 公司的批發價為 W2。
7. A1、A2 公司的平均成本均為 0，B1、B2公司的平均成本均為 0。

◎報酬整理：

• 報酬(利潤)= 收入 - 成本
• 若上下游整合：

1. π _A1 = P1 Q1；
2. π _A2 = P2 Q2

• 若上下游獨立：

1. π _A1 = W1 Q1
2. π _A2 = W2 Q2
3. π _B1 = (P1-W1) Q1
4. π _B2 = (P2-W2) Q2

◎可能情況整理：

1. 不整合(Decentralized)：A1公司供貨給B1公司，A2公司供貨給B2公司。報酬是 π _D 。
2. 整合(Integration)：A1公司併掉B1公司，A2公司併掉B2公司。報酬是 π _I 。
3. 混合一：A1公司供貨給B1公司，A2公司併掉B2公司。
4. 混合二：A1公司併掉B1公司，A2公司供貨給B2公司。
   整合的公司報酬是 π _MI 。不整合的公司報酬是 π _MD 。

◎哪一種情況最好?
畫表格分析：

		A2
		整合	不整合
A1	整合	(π I , π I )	( π MI , π MD )
	不整合	(π MD ,  π MI)	( π D , π D)

接下來個別分析每一種情況，其中，上游公司先定價，下游公司再定價。

◎情況一：上下游整合，A1公司併掉B1公司，A2公司併掉B2公司。

• 對 A1 公司：π _A1 = P1 Q1=  P1 (1 - P1 + θ P2)

想要找到 π _A1 的極值：所以，π _A1  對 P1 微分
∂π _A1  / ∂ P1  = 0 = 1 - 2 P1 + θ P2

• 對 A2 公司：π _A2 = P2 Q2 =  P2 (1 - P2 + θ P1)

想要找到 π _A2 的極值：所以，π _A2  對 P2 微分
∂π _A2  / ∂ P2  = 0 = 1 - 2 P2 + θ P1

• 上面兩個等式，解聯立：P1 =  P2 = 1/(2-θ)
• 代回得到：Q1 =  Q2 = 1/(2-θ)
• 代入得到：π _A1  = π _A2 = 1/(2-θ) ² = π _I

< PS.>請回想高中數學「微分（Differential）」中，方程式被「微分 = 0」的意思。（數學細節非屬本文的內容，若需理解，請自行 Google ）

◎情況二：上下游不整合，A1公司供貨給B1公司，A2公司供貨給B2公司。

• 對 B1 公司：π _B1 = (P1-W1) Q1= (P1-W1)(1 - P1 + θ P2)

想要找到 π _B1 的極值：所以，π _B1  對 P1 微分
∂π _B1  / ∂ P1  = 0 = 1 - 2 P1 + θ P2 + W1

• 對 B2 公司：π _B2 =  (P2-W2) Q2 = (P2-W2)(1 - P2 + θ P1)

想要找到 π _B2 的極值：所以，π _B2  對 P2 微分
∂π _B2  / ∂ P2  = 0 = 1 - 2 P2 + θ P1 + W2

• 上面兩個等式，解聯立：
• P1 = [ 1 / (2-θ) ] + (2 W1)/(4-θ²) +  (θ W2)/(4-θ²)
• P2 = [ 1 / (2-θ) ] + (2 W2)/(4-θ²) +  (θ W1)/(4-θ²)
• 代回得到：Q1 及  Q2

• 對 A1公司：π _A1 = W1 Q1

想要找到 π _A1 的極值：所以，π _A1  對 W1 微分
∂π _A1  / ∂ W1  = 0 = ... (略)

• 對 A2 公司：π _A2 =  W2 Q2

想要找到 π _A2 的極值：所以，π _A2  對 W2 微分
∂π _A2  / ∂ W2  = 0 = ... (略)

• 上面兩個等式，解聯立：可得 W1=W2= ... (略)
• 代回得到：π _B1  = π _B2 = [(2+θ)(2-θ ² )] / [(2-θ)(4-θ-2θ ² ) ² = π _D

◎情況三：A1公司供貨給B1公司，A2公司併掉B2公司。

• 對 B1 公司：π _B1 = (P1-W1) Q1= (P1-W1)(1 - P1 + θ P2)

想要找到 π _B1 的極值：所以，π _B1  對 P1 微分
∂π _B1  / ∂ P1  = 0 = 1 - 2 P1 + θ P2 + W1

• 對 A2 公司：π _A2 = P2 Q2 =  P2 (1 - P2 + θ P1)

想要找到 π _A2 的極值：所以，π _A2  對 P2 微分
∂π _A2  / ∂ P2  = 0 = 1 - 2 P2 + θ P1

• 上面兩個等式，解聯立可得 P1 及 P2
• 代回得到：Q1 及 Q2

• 對 A1公司：π _A1 = W1 Q1

想要找到 π _A1 的極值：所以，π _A1  對 W1 微分
∂π _A1  / ∂ W1  = 0 = ... (略)

• 上面等式可解得 W1= ... (略)
• 代回得到：

1. π _A1  = π _MD = ... (略)
2. π _A2  = π _MD = ... (略)

◎分析
把 π _D  、π _I  、π _MD 、π _MI 都代入表格。

◎◎假設 θ = 0，意味價格變動沒影響(獨占的意味)：

		A2
		整合	不整合
A1	整合	( ¼ , ¼ )*	( ¼ , ⅛ )
	不整合	( ⅛ , ¼ )	( ⅛  ,⅛ )

所以，奈許均衡為(整合，整合)

◎◎假設 θ = 1，意味價格變影響很大(對手漲一元的效果跟自身降一元的效果一樣，超級競爭的意味)：

		A2
		整合	不整合
A1	整合	( 1 , 1 )*	( ¾ , ¾ )
	不整合	( ¾ , ¾ )	( 3  , 3 )*

所以，奈許均衡為(整合，整合) 及 (不整合，不整合)
不過，這個均衡結果更傾向 (不整合，不整合)。也就是說，上游不一定要設直營店，讓下游自行決定是否併入上游。

根據學者文獻指出
 θ > 0.93，均衡結果傾向 θ = 1，也就是有兩個奈許均衡(整合，整合) 及 (不整合，不整合)。
0.93 > θ > 0.708，會出現類似囚犯困境的情況。只有一個奈許均衡(整合，整合)，但是 π _D > π _I 。


<PS.>所有英翻中的詞：以「國家教育研究院」所屬「雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」的「經濟學領域」的翻譯為主，一般常用翻譯為輔。

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