作者：蔡東霖
前面提到的，都是賽局完成後就結束了。有沒有可能，同一個賽局，完了之後再來一次，再再來一次，再再再來一次...
來想想「重覆賽局(Repeated Game)」
A 與 B 兩家公司在市場上，決定要不要殺價競爭。
雙方都不殺價，利潤都是 10
雙方都殺價，利潤都是 5
一方殺價，利潤是 15；另一方不殺價，利潤剩 2
◎只來一次：（A的報酬, B的報酬）
B
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|||
不殺價
|
殺價
|
||
A
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不殺價
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(10, 10)
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(2,15)
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殺價
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(15 , 2)
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(5,5)*
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|
- A 與 B 互相不知道對方的策略。
- 沒有時間先後次序的因素，所以畫表格分析
- 傳統的囚犯困境。（細節：請回看前面內容）
- 此賽局的解（奈許均衡）為：(5,5）。也就是，兩家都殺價競爭。
| A | 不殺價 | B | 不殺價 | A | 不殺價 | B | 不殺價 | (20,20) |
ε
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α
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》
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殺價 | (12,25) | ||||
| 殺價 | B | 不殺價 | (25,12) | |||||
| 殺價 | (15,15)* | |||||||
| 殺價 | A | 不殺價 | B | 不殺價 | (12,25) | |||
β
|
》
|
殺價 | (4,30) | |||||
| 殺價 |
B
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不殺價 | (17,17) | |||||
| 殺價 | (7,20)* | |||||||
| 殺價 | B | 不殺價 | A | 不殺價 |
B
|
不殺價 | (25,12) | |
γ
|
》
|
殺價 | (17,17) | |||||
| 殺價 |
B
|
不殺價 | (30,4) | |||||
| 殺價 | (20,7)* | |||||||
| 殺價 | A | 不殺價 |
B
|
不殺價 | (15,15) | |||
δ
|
》
|
殺價 | (7,20) | |||||
| 殺價 |
B
|
不殺價 | (20,7) | |||||
| 殺價 | (10,10)* |
- 有時間先後次序的因素，所以畫樹狀圖分析。
- 以「A不殺價>B不殺價>A不殺價>B不殺價」為例，最後報酬的計算是：(10+10,10+10)
以「A殺價>B不殺價>A不殺價>B殺價」為例，最後報酬的計算是：(15+2,15+2)
以「A殺價>B殺價>A殺價>B殺價」為例，最後報酬的計算是：(5+5,5+5)
其餘計算省略，不再列舉。 - A 與 B 互相不知道對方的策略。所以，第一輪的 B 的資訊集節點不是獨立的（用藍色：代表用虛線圈起來）；第二輪的 B 的資訊集節點也不是獨立的（上下兩個Ｂ中間用「》」及黃色：代表用虛線圈起來）。
- 這裡面共有5子賽局：原始起點ε開始、分別由α、 β、 γ、 δ 點開始。
- α、 β、 γ、 δ 點開始的四個子賽局，可以單獨畫表格找均衡。
可以發現，所有子賽局的均衡都是（殺價，殺價）。 - 四個子賽局的均衡結果，併到 ε 點開始的子賽局
畫表格找均衡。
B
| |||
不殺價
|
殺價
| ||
A
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不殺價
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(15 , 15)
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(7, 20)
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殺價
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(20 , 7)
|
(10 , 10)*
| |
- 可以發現，最後的子賽局的均衡也是（殺價，殺價）。
- 此賽局的解（奈許均衡）為：(10 , 10）。也就是，兩家都殺價競爭。
◎來兩百次：
- 同上原理，會找到所有子賽局的均衡都是（殺價，殺價）。
- 此賽局的解（奈許均衡）也會是：兩家都殺價競爭。
- 所謂「無限次」是指：A 與 B 雙方有很大的機率會相遇，沒有一個明確的最後一局。
- 所以「無限重覆賽局(Infinitely Repeated Game)」的解（奈許均衡），有三個：
- 兩家都殺價競爭。（延續有限次數的結果）
- 兩家都不殺價競爭。（ 有制約的規範存在時）
- Nash Reversion Strategy：
第一輪參賽者都選「不殺價」，所有參賽者會一直選擇「不殺價」；
直到某一輪有某一參賽者選擇「殺價」，則往後所有參賽者都會選擇「殺價」。
（失去信任，背叛的意思）
N.R.S 此一均衡，只會出現在「無限重覆賽局」，只要有參賽者選擇「N.R.S」就會導致新的「解」出現。
假設 A 決定採取 「Nash Reversion Strategy」； A 與 B 再相遇的機率是 r 。
- 第一輪，狀況一：A 不殺價；B 殺價。所以兩者的報酬分別是（2,15）
B 背叛了，A啟動對應策略，也開始殺價。
從第二輪開始，兩者的報酬分別是（5,5）。
B 的總報酬：(考慮「期望值」及「無限級數和」)
π = 15 + 5 r + 5 r2 + 5 r3 + 5 r4 + 5 r5 + ... = 15 + [ 5 r / (1-r) ]
- 第一輪，狀況二：A 不殺價；B 不殺價。所以兩者的報酬分別是（10,10）
兩者都不殺價。從第二輪開始，兩者的報酬分別是（10,10）。
B 的總報酬：(考慮「期望值」及「無限級數和」)
π' = 10 + 10 r + 10 r2 + 10 r3 + 10 r4 + 10 r5 + ... = 10 + [ 10 r / (1-r) ]
- B 兩種狀況的報酬差 Δπ = π - π' = 5 - [ 5 r / (1-r) ]
若 Δπ ≥ 0，代表「狀況一的報酬」 > 「狀況二的報酬」，所以 B 會選狀況一。
令 Δπ ≥ 0，則解出 r ≤ 1/2
這代表，當 r > 1/2 時，B 會選狀況二。
白話文的意思就是：只要相遇的機率大於 1/2，B 將會選擇「 不殺價」（不背叛）。
◎無名氏定理（folk theorem）
- 一次的賽局的奈許均衡只有一個, 但當它無限重覆時, 均衡的數目可以是暴漲到幾乎是任何可能的報酬都是均衡報酬。
- 參賽者對未來足夠有耐心，對於任意可行、滿足個人理性假設的報酬 π，都存在著一個均衡，使得參與者的平均報酬就是報酬 π。換言之，任何程度的合作（只要是可行的且滿足個人理性）都可以來達成奈許均衡。
- 以「囚犯困境」來說，一次的賽局中，兩個參賽者都選擇「認罪」並非奈許均衡，唯一的納許均衡就是兩個人都選擇背叛。然而，如果「囚犯困境」重複無窮多次，並且參賽者足夠有耐心，就會存在兩個參賽者都合作「不認罪」的奈許均衡。
<PS.>所有英翻中的詞：以「國家教育研究院」所屬「雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」的「經濟學領域」的翻譯為主，一般常用翻譯為輔。
