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2019年12月1日 星期日

賽局-04


作者：蔡東霖

前面提到，超過一個「奈許均衡」，就要想想其他的因素，進行「淬煉（Refinements）」。這裏，再進一步想想。




更進階地想一想淬煉（Advanced Refinements） ... ...

◎淘汰劣勢策略（Eliminating Dominated Strategy）
  1. 理性的參賽者不應使用劣勢策略。
  2. 有時候並不會找到「逐次優勢均衡（Iterated Dominance Equilibrium）」。
    事實上，「逐次優勢均衡」一定是「奈許均衡」，
    但是，「奈許均衡」不一定是「逐次優勢均衡」。
  • 對數學及文學兩個科目，A 及 B 兩人都很拿手。兩人相比，B 稍微比 A 用功一些。自己比較，A 的數學比文學要好一些，B 的文學比數學要好一些。
    A 選修數學，B 選文學，都是拿手中的拿手，A 及 B 兩人的學期分數都是 4.0
    A 選修文學，B 選數學，A 及 B 兩人的學期分數分別是 3.8 及 4.0
    A 及 B 同時選修數學，A 愛慕 B，所以 A 會讓一下 B，兩人的學期分數都是 3.8
    A 及 B 同時選修文學，A 的文學原本就差一些，上課又會偷瞄 B 不專心，所以學期分數是 3.7，B 的學期分數則是 4.0
    A 及 B 要怎麼選修？

    用表格來表示：
    B
    選數學
    選文學
    Ａ
    選數學
     (3.8 , 3.8) 
     ( 4.0 , 4.0)*
    選文學
    (3.8 , 4.0 )*
    ( 3.7 , 4.0)
  1. 對 A 而言：「選文學」是「劣勢策略」。
  2. 對 B 而言：「選數學」是「劣勢策略」。
  3. 有兩個「奈許均衡」的狀況：( 3.8 , 4.0 ) 及 ( 4.0 , 4.0 )，也就是：
    4. （1）A 選文學，B 選數學；
    （2）A 選數學，B 選文學。
  • 其中一組「奈許均衡」都是「劣勢策略」，所以，另一組也是「逐次優勢均衡」。 
◎顫手完全均衡（Trembling-hand Perfect Equilibrium）
  • 人多少都會有些小小失誤。就像，人用手抓東西時，有可能手一抖，東西就抓不住了。
  • 賽局中，每個參賽者都有一定的可能犯錯。當一個策略被稱為「顫手完全均衡」時，代表它必須具有如下性質：
  1. 參賽者要採用的策略，在其他參賽者不犯錯誤時是最優的；
  2. 在其他參賽者偶爾犯錯（機率很小，但還是大於 0）時，還是最優。
◎◎前面 A 及 B 要怎麼選修的例子中，有兩個「奈許均衡」的狀況（A 選文學，B 選數學）以及（A 選數學，B 選文學）。
萬一，B 不專心，導致選課的時候，有 1%的機率犯錯。
例如，原本要選文學，結果選成數學；或者，原本要選數學，結果選成文學。

◎◎◎狀況一：A 選文學，B 原本應該要選數學。結果 B 選成文學。用表格來表示：
Ｂ
選數學
機率：99 %
選文學
機率：1 %
Ａ
選數學
 (3.8 , 3.8) 
 ( 4.0 , 4.0)*
選文學
(3.8 , 4.0 )*
( 3.7 , 4.0)

扯到機率，只好又進到數學的世界來處理。
  • A選數學的總報酬：Ｂ選數學 + Ｂ選文學
    U數學 = 3.8 x 0.99 + 4.0 x 0.01 = 3.802
  • A選文學的總報酬：Ｂ選數學 + Ｂ選文學
    U文學 = 3.8 x 0.99 + 3.7 x 0.01 = 3.799
結果，A 選數學的總報酬 >  A 選文學的總報酬！！！！
所以，A 會改選文學。
這將不再是原本奈許均衡之一的（ A 選文學，B 選數學）。
換句話說，原本奈許均衡之一的（ A 選文學，B 選數學）並不穩定，會因為 B 犯錯，而導致改變。ＮＧ。

◎◎◎狀況二：A 選數學，B 原本應該要選文學。結果 B 選成數學。用表格來表示：
Ｂ
選數學
機率：1 %
選文學
機率：99 %
Ａ
選數學
 (3.8 , 3.8) 
 ( 4.0 , 4.0)*
選文學
(3.8 , 4.0 )*
( 3.7 , 4.0)
再一次進到數學的世界來處理
  • A選數學的總報酬：Ｂ選數學 + Ｂ選文學
    U數學 = 3.8 x 0.01 + 4.0 x 0.99 = 3.998
  • A選文學的總報酬：Ｂ選數學 + Ｂ選文學
    U文學 = 3.8 x 0.01 + 3.7 x 0.99 = 3.701
結果，A 選數學的總報酬 > A選文學的總報酬。
所以，A一樣會選數學。
換句話說，原本奈許均衡之一的（A 選數學，B 選文學）很穩定，不會因為 B 犯錯，而改變。

◎◎◎結論：原本奈許均衡之一的（A 選數學，B 選文學）是「顫手完全均衡」。

◎嚴格奈許均衡（Strict Nash Equilibrium ）

[數學表示]
For all i
π i ( si* , s-i* ) > π i( si' , s-i* ), ∀si
then π i ( si* , s-i* )  is a Strict Nash Equilibrium.
與「奈許均衡（Nash Equilibrium）」相比，沒有等號。


<PS.>所有英翻中的詞：以「國家教育研究院」所屬「雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」的「經濟學領域」的翻譯為主，一般常用翻譯為輔。


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