作者：蔡東霖
前面提到，萬一沒有找到「奈許均衡」，那就要考慮「混合策略奈許均衡」（Mixed Strategy Nash Equilibrium）。
「混合策略奈許均衡」（Mixed Strategy Nash Equilibrium）是說：參賽者的策略必須考慮機率，而沒有其他參賽者能夠透過其他策略來增加他的預期收益。
- 所以，沒有考慮機率的奈許均衡稱為「純策略奈許均衡」（Pure Strategy Nash Equilibrium）。
- 如果一個參賽者應該隨機選擇兩種策略，那麼兩者都必須產生相同的預期收益。
- 錢幣配對賽局（The matching pennies game）具有混合策略，沒有純策略。
- 性別戰賽局（The battle of the sexes game）有一個混合策略和兩個純策略。
- 膽小鬼賽局（The game of chicken）與性別戰賽局相似，且有兩種純策略和一種混合策略。
- 若「投手」投快速球，「打者」決定「早出手」時，「打者」會打到球，球飛得又高又遠，對「打者」而言，結果最好（10）；對「投手」而言，結果最差（-10）。
- 若「投手」投快速球，「打者」決定「晚出手」時，「打者」打不到球，對「打者」而言，結果不好（-5）；對「投手」而言，結果不錯（5）。
- 若「投手」投慢速球，「打者」決定「早出手」時，「打者」打不到球，對「打者」而言，結果不好（-5）；對「投手」而言，結果不錯（5）。
- 若「投手」投慢速球，「打者」決定「晚出手」時，「打者」會打到球，球飛在內野區，對「打者」而言，結果還好（3）；對「投手」而言，結果差了點（-3）。
投手
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快速球
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慢速球
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打
者 |
早出手
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(10 , -10)
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(-5 , 5)
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晚出手
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(-5 , 5 )
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(3 , -3)
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- 沒有前面提到的「奈許均衡」狀況，也就是沒有「純策略奈許均衡」。
- 「打者」決定「早出手」的機率是 q，「晚出手」的機率是 (1-q)
- 「投手」決定「快速球」的機率是 p，「慢速球」的機率是 (1-p)
投手
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快速球
機率：p |
慢速球
機率：(1-p) | ||
打
者 |
早出手
機率：q |
(10 , -10)
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(-5 , 5)
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晚出手
機率：(1-q) |
(-5 , 5 )
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(3 , -3)
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想想高中數學的「期望值（Expected value）」：
- 投手的總報酬：快速球報酬 + 慢速球報酬U投手（ p , q ）= p ( (-10) q + 5 (1-q) ) + ( 1 - p) ( 5 q + (-3) (1-q))
- 打者的總報酬：早出手報酬 + 晚出手報酬U打者（ p , q ）= q ( 10 p + (-5) (1-p) ) + ( 1 - q) ( (-5) p + 3 (1-p))
- U投手（ p , q ）對 p 偏微分 = 0
∂ U投手（ p , q ）/ ∂p = 0 - U打者（ p , q ）對 q 偏微分 = 0
∂ U打者（ p , q ）/ ∂q = 0 - 上面兩個等式是一組聯立方程式，求解，得 ( p , q ) = ( 8/23 , 8/23 )
這有一點虛幻，簡單說，此賽局的「均衡狀況」就是：投手用 8/23 的機率投快速球，打者用 8/23 的機率提早打擊。
<PS.>所有英翻中的詞：以「國家教育研究院」所屬「雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」的「經濟學領域」的翻譯為主，一般常用翻譯為輔。
